Claude Hauri comenzó de joven el estudio del violonchelo con el maestro Taisuke Yamashita, quien lo acompañó hasta la obtención del Diploma en el Conservatorio de Lugano. Posteriormente continuó sus estudios con Raphael Wallfisch, con quien obtuvo el diploma de perfeccionamiento en la Musikhochschule de Winterthur, además de formarse con Alain Meunier y Zara Nelsova.
Es violonchelo solista del Ensemble Nuovo Contrappunto de Florencia y del Ensemble Algoritmo de Roma, y fue primer violonchelo de la Youth World Orchestra de Jeunesses Musicales. Tanto como solista como en agrupaciones de cámara desarrolla una intensa actividad concertística que le ha permitido actuar en toda Europa, Australia y Sudamérica, en festivales como Amici della Musica de Palermo, la Biennale de Venecia, Unione Musica Insieme de Bolonia, el Teatro El Círculo de Rosario, la Fundación Kinor de Buenos Aires, el Festival de Liubliana o el Festival de Nancy.
Como solista con orquesta ha actuado en los últimos años junto a numerosas formaciones, entre las que destacan la Orchestra di Fiati della Svizzera Italiana, la Orquesta Sinfónica Nacional Argentina, la Orchestra della Svizzera Italiana, la Orquesta Sinfónica de Entre Ríos, la Orquesta Sinfónica Uncuyo y el Ensemble Nuovo Contrappunto de Florencia, bajo la dirección de maestros como Piero Gamba, Reinaldo Zemba, Levin Griffiths, Mario Ancillotti y Louis Gorelik.
Dedica una atención especial al repertorio contemporáneo. Son numerosos los estrenos de obras que ha interpretado, muchas de ellas dedicadas a él, así como sus colaboraciones con compositores como Salvatore Sciarrino, Luis de Pablo y Philip Glass, entre otros. También han sido numerosos los conciertos retransmitidos en directo por emisoras como SSR RSI, DRS y RAI, así como las grabaciones discográficas publicadas por sellos como Amadeus, Jecklin, Nuova Era y Szene Schweiz. En sus publicaciones discográficas más recientes colabora con la violinista Bin Huang (Brilliant Classics) y con el Trio des Alpes (Dynamic). Toca un espléndido violonchelo construido por Gian Battista Zanoli, lutier italiano del siglo XVIII.
Junto a Corrado Greco y la violinista Mirjam Tschopp forma el Trio des Alpes, con el que desarrolla una intensa actividad concertística en toda Europa.
